Regra dos 72

Por que a Regra dos 72 funciona?

Em juros compostos, se um capital cresce a uma taxa i ao ano, o tempo t necessário para dobrá-lo satisfaz:

(1 + i)^t = 2

Aplicando logaritmo natural nos dois lados e isolando t:

t = ln(2) / ln(1 + i)

Como ln(2) ≈ 0,6931, e para taxas relativamente baixas ln(1 + i) se aproxima de i (é a aproximação de primeira ordem da série de Taylor), a fórmula se simplifica para:

t ≈ 0,6931 / i = 69,3 / i (%)

É daqui que vem a "Regra dos 69,3" — a versão matematicamente mais direta, derivada sem nenhum arredondamento de conveniência.

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Então por que usamos 72 em vez de 69,3?

1. Divisibilidade prática. 72 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24 e 36 — números muito comuns em taxas e prazos de investimento. Isso torna a conta de cabeça fácil (72÷8=9, 72÷6=12, 72÷12=6...). Já 69,3 quase nunca resulta em uma divisão redonda.
2. Precisão nas taxas mais usuais. A aproximação ln(1+i) ≈ i sempre subestima o valor real de ln(1+i) quando i > 0 — o que faz a Regra dos 69,3 sistematicamente subestimar o tempo real de dobra. Usar 72 no lugar de 69,3 compensa parte desse erro, e o resultado acaba ficando mais próximo do valor exato justamente na faixa de taxas mais comuns em investimentos reais (por volta de 6% a 10% ao ano).

Comparação em diferentes taxas

Veja como cada método se sai em relação ao cálculo exato:

Taxa	Regra 72	Regra 69,3	Exato